Question

如图，在四面体A-BCD中，AD垂直平面BCD，BC垂直CD,AD=2,BD=2根号2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在 ...

如图，在四面体A-BCD中，AD垂直平面BCD，BC垂直CD,AD=2,BD=2根号2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在 线段AC上，且AQ=3QC, H 证明： (1)PQ||平面BCD, (2) 若二面角C-BM-D的大小为六十度，求角BCD的大小

Answer 1

【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。
【答案解析】
（Ⅰ）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接OP，OF，FQ．
因为AQ=3QC，所以
QF∥AD，且QF=AD
因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以
OP∥DM，且OP=DM
又点M是AD的中点，所以
OP∥AD，且OP=AD
从而
OP∥FQ，且OP=FQ
所以四边形OPQF是平行四边形，故
PQ∥OF
又PQË平面BCD，OFÌ平面BCD，所以
PQ∥平面BCD．
（Ⅱ）作CG^BD于点G，作GH^BM于点HG，连接CH，则CH^BM，所以ÐCHG为二面角的平面角。设ÐBDC=θ．
在Rt△BCD中，
CD=BDcos θ=2cos θ，
CG=CDsin θ=2cos θsin θ，
BG=BCsin θ=2sin2θ
在Rt△BDM中，
HG==
在Rt△CHG中，
tanÐCHG=
所以
tan q=
从而
q=60°
即ÐBDC=60°．

补充，这是网上搜来的。

Answer 2

证明：∵AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，
∴BC⊥AD．
又∵BC⊥CD，AD∩CD=D，
∴BC⊥平面ACD，
又∵BC⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ADC；
（2）解：作CG⊥BD于点G，作GH⊥BM于点HG，连接CH．
∵AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，
∴CG⊥AD
又∵CG⊥BD，AD∩BD=D，
∴CG⊥平面ABD，
又∵BM⊂平面ABD，∴BM⊥CG
又∵BM⊥GH，CG∩GH=G，
∴BM⊥平面CGH，
∵CH⊂平面CGH，
∴BM⊥CH
∴∠CHG为二面角的平面角．
在Rt△BCD中，CD=BDcos60°= 2，CG=CDsin60°＝ 6
2 ，BG=BCsin60°＝3 2
2 ．
在Rt△BDM中，HG=BG⋅DM
BM = 2
2
在Rt△CHG中，tan∠CHG=
CG
HG ＝
6
2
2
2
＝ 3，
∴∠CHG=60°，即二面角C-BM-D的大小为60°

Answer 3

对啊。。真s13！答案是错的。。