Question

已知：在梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，点M在边BC上，且∠MDB=∠ADB，BD²=AD·BC. (1)求证：BM=CM

Answer 1

∵AD//BC

∴∠ADB=∠DBC      （1）

又∵BD²=AD×BC

∴BD/AD=BC/BD        （2）

∴△BDC∽△DAB           SAS

 

∴∠BDC=∠A

∴∠A=90

∴∠BDC=90

∴∠BDM+∠MDC=90

又∵∠DBC+∠C=90

 

∴∠BDM+∠MDC=∠DBC+∠C

 

∵∠ADB=∠DBC

  ∠MDB=∠ADB

∴∠DBC=∠MDB

∴DM=BM

 

∴∠BDM=∠C

∴DM=MC

 

∴BM=MC

Answer 2

（1）∵ AB⊥BC，∴ ∠ABC = 90º．
∵ AD // BC，∴ ∠CBD =∠ADB，∠BAD +∠ABC = 180º．
即得 ∠BAD = 90º．
∵BD²=AD·BC，∴AD/BD=BD/BC ．
又∵ ∠CBD =∠ADB，
∴ △BCD∽△DBA．
∴ ∠BDC =∠BAD = 90º．
∴ ∠DBC +∠C = 90º．
∵ ∠MDB=∠ADB，∠MBD =∠ADB，
∴ ∠MBD =∠MDB．∴ BM = MD．
又∵ ∠BDM +∠CDM =∠BDC = 90º，
∴ ∠C =∠CDM．
∴ CM = MD．∴ BM = CM．
谢谢