求齐次线性方程组{X1+X2+3X3+2X4=0 2X1+3X2+X3-X4=0 5X1+6X2+10X3+5X4=0}的基础解系及通解
^A=
1 1 3 2
1 3 1 6
1 -5 10 -10
3 -1 15 -2a
r2-r1,r3-r1,r4-3r1
1 1 3 2
0 2 -2 4
0 -6 7 -12
0 -4 6 -2a-6
r3+3r2,r4+2r3,r3*(1/2),r1-r2
1 0 4 0
0 1 -1 2
0 0 1 0
0 0 8 -2a+2
-->
1 0 0 0
0 1 0 2
0 0 1 0
0 0 0 -2a+2
所以a=1时方程组有非零解，通解为c(0,-2,0,1)^T
扩展资料：
当r=n时，原方程组仅有零解；
当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。
对齐次线性方程伍行组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯锋橘帆型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多银雹个解）。
参考资料来源：百度百科-齐次线性方程组
基础解系为(-4,3,1,0)^T，(-5,4,0,1)^T，通解为k1(-4,3,1,0)^T+k2(-5,4,0,1)^T,k1,k2∈P。
对齐次线性方程组的乎猜锋系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<岁晌n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。
求解步骤
1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；
2、兆仔若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；
若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：
3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；
4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。
