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克莱姆法则内容

Answer 1

克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。
基本介绍
　　假若有n个未知数，n个方程组成的方程组： 克莱姆法则(9张)
　　a11X1+a12X2+．．．+a1nXn = b1,
　　a21X1+a22X2+．．．+a2nXn = b2,
　　．．．．．．
　　an1X1+an2X2+．．．+annXn = bn.
　　或者写成矩阵形式为Ax=b，其中A为n*n方阵，x为n个变量构成列向量，b为n个常数项构成列向量。
　　而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式|A|不等于0的时候，它有唯一解xi=|Ai|/|A|，其中Ai〔i = 1，2，……，n〕是矩阵A中第i列的a 1i，a 2i，……a ni （即第i列）依次换成b1，b2，……bn所得的矩阵。
　　克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。
　　使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法时间复杂度可以达到O(n^3），这个时间复杂度同其它常用的线性方程组求解方法，比如高斯消元法相当。
　　当b1,b2,...,bn不全为0时，方程组为非齐次性方程组。
　　系数矩阵A非奇异时，或者说行列式|A|≠0时，方程组有唯一的解；
　　系数矩阵A奇异时，或者说行列式|A|=0时，方程组有无数个解。
　　当b1=b2=...=bn=0时，方程组为齐次性方程组。
　　若系数矩阵A非奇异时，则方程组有唯一的解，其所有分量均为0，我们通常称这个解为平凡解。
　　若齐次线性方程组有非零解，系数矩阵必然奇异，或者说对应的系数行列式必为0。
　　其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
法则总结
　　1：克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;
　　2：应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:
　　（1）：当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；
　　（2）：如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零；
　　3：克莱姆法则的局限性：
　　（1）：当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失
　　效。
　　（2）：运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。
技术应用
　　克莱姆法则在解决微分几何方面十分有用。
　　先考虑两条等式和。因为u和v都是没相关的变数，我们可定义和。
　　找出一条等式适合是克莱姆法则的简单应用。
　　首先，我们要计算F、G、x和y的导数：
　　将dx和dy代入dF和dG，可得出：
　　因为u和v都没有关系，所以du和dv的系数都要等于0。所以等式中的系数可以被写成：
　　现在用克莱姆法则就可得到：
　　用两个雅可比矩阵来表示的方程：
　　用类似的方法就可以找到、以及。

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