Question

如何证明可与准对角矩阵交换的只能是准对角矩阵

Answer 1

问题不对。
设E是n阶单位矩阵，n>1，它同时也是对角矩阵，当然也是准对角矩阵，但E与任何矩阵都是可交换的。（这里认为准对角矩阵应至少有两个分块，否则任意方阵都可视作一阶分块的准对角矩阵。）

我见过一个类似的问题，或许你问的问题是这样的：
设A＝{a_1*E_1 0 ... 0
0 a_2*E_2 ... 0
... ... ... ...
0 0 0 a_r*E_r}
(用!=表示不等于）
其中a_i != a_k 当i !=k (i,k=1,2,...,r)，E_i是n_i阶单位矩阵，n_1+n_2+...+n_r=n，证明：与A可交换的只能是准对角矩阵。
你能问出这个问题，我认为你知道分块矩阵的运算规则，所以下面给出的证明用到分块矩阵想必你能明白。
显然与方阵可交换的只能是方阵。
设M＝{m_i,k}是n阶方阵，m_i,k是n_i行n_k列的矩阵，M*A＝A*M，下证M是准对角矩阵。
考虑M*A与A*M的第i行第k列的分块，则有：
m_i,k*a_k*E_k=a_i*E_i*m_i,k，（其它的因为和（A中的）0相乘都没有了）
也即：
（a_k-a_i)*m_i,k=0
所以，i != k 时，m_i,k=0，这说明m_i,k是准对角矩阵。