Question

答案看不懂求解

（2）条件等价于：对于x∈（0，+∞），f(x)的最大值小于g(x)的最小值。下面求f(x)、g(x)的最值：f'(x)=a + 1/x=(ax+1)/x， g'(x)=-ae^x（i)当a≥0时，f'(x)>0，f(x)为增函数，无最大值，不符合题意；（ii)当a<0时，f'(x)=(ax+1)/x=a[x-(-1/a)]/x ，若x∈（0，-1/a），f'(x)>0，f(x)为增函数，若x∈（-1/a，+∞），f'(x)<0，f(x)为减函数。∴当x=-1/a时，f(x)有极大值，也是f(x)的最大值，此时f(-1/a)=In(-1/a) — 1而g'(x)>0，g(x)在x∈（0，+∞）上为增函数，∴g(x)>g(0)=0
∴由条件可知In(-1/a) — 1≤0，解得a≤-1/e综上可知a≤-1/e

最后一步能取等号？
我算的是大于-1|e

Answer 1

（II）条件并不是等价于：对于x∈（0，+∞），f(x)的最大值小于g(x)的最小值；而是等价于：在区间（0，+∞）上，f(x)值域在g(x)值域的左侧，且两个集合无交集（即无公共元素）

当a=0时
因f(x)=lnx，其值域为（-∞,+∞）
而g(x)=0，其值域为{0}
显然两个集合有公共元素0，不符合条件

当a>0时
因f'(x)=a+1/x>0（注意到x>0）
表明f(x)=ax+lnx在区间（0，+∞）上为增函数
考虑到lim(x→0)f(x)=lim(x→0)ax+lim(x→0)lnx=-∞
且考虑lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)ax+lim(x→+∞)lnx=+∞
则f(x)值域为（-∞,+∞）
而g'(x)=-ae^x<0（注意到e^x>0）
表明g(x)=a-ae^x在区间（0，+∞）上为减函数
考虑到lim(x→0)g(x)=lim(x→0)a-ae^x=0
且考虑lim(x→+∞)g(x)=lim(x→+∞)a-ae^x=-∞
则g(x)值域为（-∞,0）
显然两个集合也有公共元素，不符合条件

当a<0时
令f'(x)=a+1/x=0，则x=-1/a（注意到x>0）
当0<x<-1/a时，易知f'(x)>0，表明f(x)在该区间上递增
当x>-1/a时，易知f'(x)<0，表明f(x)在该区间上递减
则x=-1/a为f(x)的最大值点
即有f(x)≤f(-1/a)=-1-ln(-a)
而g'(x)=-ae^x>0（注意到e^x>0）
表明g(x)=a-ae^x在区间（0，+∞）上为增函数
考虑到lim(x→0)g(x)=lim(x→0)a-ae^x=0
且考虑lim(x→+∞)g(x)=lim(x→+∞)a-ae^x=+∞
则g(x)值域为（0,+∞），即g(x)>0
要使在区间（0，+∞）上，f(x)值域在g(x)值域的左侧，且两个集合无交集（即无公共元素）
必有-1-ln(-a)≤0
即有ln(-a)≥-1
而-1=-lne=ln(1/e)
所以ln(-a)≥ln(1/e)
考虑到y=lnx（x>0）为增函数
于是有-a≥1/e
即a≤-1/e（显然满足a<0的前提条件）

综上知满足条件a的取值范围为(-∞，-1/e]

Answer 2

是你解错了，还是前面哪部不一样呢？