Question

高一数学：已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)对一切实数都有f(2+x)=f(2-x),则不等式f(2x+1)<f(3-x)

则不等式f(2x+1)<f(3-x)的解集为

求过程及最终答案，谢谢！

Answer 1

f(2+x)=f(2-x),即：
a(2+x)^2+b(2+x)+c=a(2-x)^2+b(2-x)+c
(4a+b)x=-(4a+b)x
对一切实数x上式也成立，则必须
4a+b=0
b=-4a
f(2x+1)-f(3-x)
=[4ax^2+4ax+a-8ax-4a+c]-[ax^2-6ax+9a-12a+4ax+c]
=3ax^2-2ax<0
因为a<0,两边除以a
3x^3-2x>0
解不等式，得 x<0或x>2/3

Answer 2

这个简单。。先找对称轴

因为f(2+x)=f(2-x）可知 a(2+x)^2+b(2+x)+c=a(2-x)^2+b(2-x)+c 化简这个方程式得到b=-4a

所以 f(x)=ax^2-4ax+c 从而得出f(x)的对称轴为x=2

又因为a<0 所以 当x>2时f(x)单调递减；当x<2时f(x)单调递增
（1）第一种情况：
x>2
3-x<2x+1 得出 x >2 x<2/3 无解。

（2）第二种情况：
x<2
3-x>2x+1 得出 2/3<x<2

所以f(2x+1)<f(3-x) 的解的集合为 2.3<x<2 完毕！