Question

柯西不等式成立的条件？

Answer 1

二维形式
　　(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
　　等号成立条件：ad=bc
　　 三角形式
　　√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]
　　等号成立条件：ad=bc
　　注：“√”表示平方根，
　　 向量形式
　　|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）
　　等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。
　　 一般形式
　　(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2
　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
　　上述不等式等同于图片中的不等式。
　　 推广形式
　　(x1＋y1＋…)(x2＋y2＋…)…(xn＋yn…)≥[(Πx)^(1/m)＋(Πy)^(1/m)＋…]^m
　　注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。 [编辑本段]【柯西不等式的证明】　　 二维形式的证明
　　　(a^2+b^2)(c^2+d^2)　（a,b,c,d∈R)
　　＝a^2·c^2 ＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2
　　＝a^2·c^2 ＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2
　　＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2
　　≥(ac＋bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。
　　 一般形式的证明
　　求证：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2
　　证明：
　　当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立
　　令A=∑ai^2　B=∑ai·bi　C=∑bi^2
　　当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A＞0
　　构造二次函数f(x)=Ax^2＋2Bx＋C，展开得：
　　f(x)＝∑(ai^2·x^2＋2ai·bi·x＋bi^2)＝∑ (ai·x＋bi)^2≥0
　　故f(x)的判别式△＝4B^2－4AC≤0，
　　移项得AC≥B，欲证不等式已得证。
　　 向量形式的证明
　　令m＝(a1, a2, …, an)，n＝(b1, b2, …, bn)
　　m·n＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝|m||n|cos<m, n>＝√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2) ×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2) ×cos<m, n>
　　∵cos<m, n>≤1
　　∴a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2) ×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2)
　　注：“√”表示平方根。
　　注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。

Answer 2

任意实数设a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn为任意两组实数,则有
(a1*x-b1)^2+(a2*x-b2)^2+...+(an*x-bn)^2>=0
(a1^2+a2^2+...+an^2)*x^2-2x(a1b1+a2b2+...+anbn)+(b1^2+b2^2+...+bn^n)>=0
左边是关于x的2次函数,其值大于等于零,故判别式
4(a1b1+a2b2+...+anbn)^2-4(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^n)<=0
(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^n)
这是柯西不等式,从证明过程看,对所有实数均成立.

Answer 3

柯西不等式可以简单地记做：平方和的积 ≥ 积的和的平方。它是对两列数不等式。取等号的条件是两列数对应成比例。
如：两列数
0，1
和
2，3
有
(0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.

Answer 4