Question

已知抛物线y=ax^2+bx+c（a>0）的顶点是C（0,1），直线l：y=-ax+3与这条抛物线交于P,Q两点，与x轴，y轴分

已知抛物线y=ax^2+bx+c（a>0）的顶点是C（0,1），直线l：y=-ax+3与这条抛物线交于P,Q两点，与x轴，y轴分别交于点M和N。
（1）设点P到x轴的距离为2，试求直线l的函数表达式：
（2）若线段MP与PN的长度之比为3：1，试求抛物线的函数表达式。

Answer 1

解：

⑴∵抛物线的顶点是C(0，1)，
∴b=0，c=1，
∴y=ax²+1．
如图1，∵a＞0，直线l过点N(0，3)，
∴M点在x轴正半轴上．
∵点P到x轴的距离为2，
即点P的纵坐标为2．
把y=2代入y=-ax+3得，

x=1/a，

∴P点坐标为(1/a，2)．

∵直线与抛物线交于点P，
∴点P在y=ax²+1上，
∴2=a•(1/a)²+1，

∴a=1．
∴直线l的函数关系式为y=-x+3．

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⑵①如图1，若点P在y轴的右边，记为P1
过点P1作P1A⊥x轴于A，
∵∠P1MA=∠NMO，
∴Rt△MP1A∽Rt△MNO，
∴P1A/ON=MP1/MN．

∵MP1/P1N=3/1，

∴MP1=3P1N，MN=MP1+P1N=4P1N
∴MP1/MN=3/4，

即P1A/ON=3/4，

∵ON=3，
∴P1A=9/4，

即点P1的纵坐标为9/4．

把y=9/4代入y=-ax+3，

得x=3/4a，

∴点P1的坐标为(3/4a，9/4)．

又∵点P1是直线l与抛物线的交点，
∴点P1在抛物线y=ax2+1上，
∴9/4=a•(3/4a)²+1，

∴a=9/20．

抛物线的函数关系式为y=9/20·x²+1．

②如图2，若点P在y轴的左边，记为P2．作P2A⊥x轴于A，
∵∠P2MA=∠NMO，
∴Rt△MP2A∽Rt△MNO，
∴P2A/NO=MP2/MN．

∵MP2/P2N=3/1，

∴MP2=3P2N，MN=MP2-P2N=2P2N，
∴MP2/MN=3/2，即P2A/ON=3/2，

∵ON=3，
∴P2A=9/2，即即点P2的纵坐标为9/2．

由P2在直线l上可求得P2(-3/2a，9/2)，

又∵P2在抛物线上，
∴9/2=a•(-3/2a)²+1，

∴a=9/14．

∴抛物线的函数关系式为y=9/14·x²+1．

综上，抛物线的函数关系式为y=9/20·x²+1或y=9/14·x²+1．

【本题主要考查了一次函数与二次函数解析式的确定以及函数图象交点等知识，第二小问注意分类讨论、、、】

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