Question

已知1/3≤a≤1,若f(x)=ax^2-2x+1在[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a)

已知1/3 ≤a≤1,若f(x)=ax^2 -2x+1,在[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(x)=M(a)-N(a) (1)求g(a)的函数表达式.(2)判断函数g(a)的单调性,并求出g(a)的最小值.

Answer 1

函数f(x)=ax�0�5-2x 1图像的对称轴为x=1/a，∵1/3≤a≤1,，∴1≤1/a≤3
所以其最小值为m(a)=f(1/a)=1-1/a
根据函数图像可知，当对称轴1≤1/a≤2时，即1/2≤a≤1时，
M(a)=f(3)=9a-5
当对称轴2＜1/a≤3，即1/3≤a＜1/2时，
M(a)=f(1)=a-1
∴当1/3≤a＜1/2时，g(a)=M(a)-m(a)=a 1/a-2
当1/2≤a≤1时，g(a)=M(a)-m(a)=9a 1/a-6

Answer 2

(1)
f(x)的对称轴是1/a
已知1/3≤a≤1,
1<=1/a<=3

要进行讨论
考虑图象的位置问题
当 1〈=1/a〈=2，
在纸上画图可知
最小的是当X=1/a，最大是当X=3
当2〈=1/a〈=3，
最小的是当X=1/a，最大的是当X=1时
所以
M（a）=9a-5（1〈=1/a〈=2）
M（a）=a-1（2=〈1/a〈=3）
N（a）=-1/a+1
所以g(x)=M(a)-N(a）=9a+1/a-6(1〈=1/a〈=2)
g(x)=a+1/a-2(2〈=1/a〈=3）
（2）当1〈=1/a〈=2时，1/2<=a<=1
此时g(x)=9a+1/a-6>=2根号下（9a*1/a)-6=0,此时a=1/3，不可取到，最小就是
g(x)=g(1/2)=1/2
当2=〈1/a〈=3，1/3<a<=1/2
g(x)=a+1/a-2>=2根号下(a*1/a)-2=0,此时a=1,取不到
最小就是g(x)=g(1/2)=1/2
所以g(a)的最小值是1/2
当1/3<=a〈=1/2时，g(x)单调递减
当1/2<=a<=1，单调递增