Question

已知fx= x+x^-1 x≥0 或x^2+9 x≤0 ,FX=f(x^2-2x)-m有6个零点,求m的取值范围

求过程，谢谢

Answer 1

题中f(x)=x+1/x时，应该是x>0

令G(x)=f(x^2-2x)

则F(x)的零点个数等于G(x)与直线y=m的交点个数

 

若x^2-2x>0，即x<0或x>2

则G(x)=f(x^2-2x)=x^2-2x+1/(x^2-2x)

令G'(x)=2(x-1)[1-1/(x^2-2x)^2]=0

则x=1（舍去）或x=1-√2或x=1+√2

易知x=1-√2和x=1+√2均为G(x)的最小值点

且G(1-√2)=G(1+√2)=2（由基本不等式也可得）

且x<1-√2和2<x<1+√2为单调减区间

且1-√2<x<0和x>1+√2为单调增区间

大致作出G(x)的图象，呈双“V”型

 

若x^2-2x≥0，即0≤x≤2

则G(x)=f(x^2-2x)=(x^2-2x)^2+9

令G'(x)=4x(x-1)(x-2)=0

则x=0或x=1或x=2

注意到x=0和x=2正好是区间0≤x≤2的左右端点

易知x=0和x=0均为G(x)的最小值点，而x=1为G(x)的最小值点

且G(0)=G(2)=9，G(1)=10

且0<x<1为单调增区间

且1<x<2为单调减区间

大致作出G(x)的图象，呈开口向下的抛物型

由图象可知：满足条件的m的取值范围为[9,10)

追问

答案是（8,9】，我已经问过老师，知道该怎么做了，还是谢谢你啦。

Answer 2

请问这个fx= x+x^-1 x≥0里最后那个x是以及前面那个-1是什么意思？