Question

微积分中对数函数积分定义的一个问题

对数函数用积分定义是lnx=∫[1→x]1/tdt，积分符号我只能这么打了，根据微积分基本定理lnx的导数是1/x,根据lnx的导数是1/x推出第一个对数运算律lnxy=lnx+lny,这个推导不打了，只需要求个导，其中只用到了复合函数求导法则，但第二个对数运算律lnx^r=rlnx,我就不会了，书上没给答案，只给了提示，说先证明两边有相同的导数，等式右边会，但左边求完导是1/x乘x^r的导数。x^r的导数公式推导正用到了lnx的导数是1/x和第二个对数运算律lnx^r=rlnx，也就是说没有第二个对数运算律lnx^r=rlnx就没有x^r的导数公式，所以有个先后，在证明时不能引用还要近一步证明的理论。那怎么办啊？难道x^r的导数公式有其他证明法，我只知道幂函数导数公式证明需要四种情况，1指数是正整数，这个我会，用二项式定理，2指数是负整数，这个也简单,

Answer 1

这个问题啊……把x^r变成e^(rlnx)再复合函数求导就行了，就是[e^(rlnx)]'=e^(rlnx)*(rlnx)'=r/x*x^r=rx^(r-1)

Answer 2

不用微积分证明行吗？
y=lnx,x=e^y
ln(x^r)=ln(e^(ry))=ry=rlnx