Question

把一个面积为1的正方形等分成两个面积为1/2的长方形，接着把面积为1/2的长方形分成等分成两个面积为1/4的

把一个面积为1的正方形等分成两个面积为1/2的长方形，接着把面积为1/2的长方形分成等分成两个面积为1/4的正方形，再把面积为1/4的正方形等分成两个面积为1/8的长方形，如此下去，试利用图形揭示的规律计算：1/2+1/4+1/8+1/16+……+1/2的n次方. 并使用代数方法证明打你的结论。

Answer 1

解：

如图，可得到 1/2+1/4+1/8+1/16+……+1/2^n 即为正方形除去 1/2^n 的小块后的面积

因为正方形的面积为 1，所以，这个面积等于 1-1/2^n。所以

   1/2+1/4+1/8+1/16+……+1/2^n = 1-1/2^n

证明的方法如下：

这是一个首项 a1 = 1/2，公比 q=1/2 的等比数列的前 n 项和。

根据等比数列的求和公式 Sn = a1(1-q^n)/(1-q)，得

  原式

= 1/2(1-1/2^2) / (1-1/2) = 1-1/2^n

如果要具体的计算方法，可以参考等比数列求和公式的推导过程。需要的话请追问。

追问

其实，我只想知道：
并使用代数方法证明你的结论.
麻烦了

追答

设 Sn = 1/2+1/4+1/8+1/16+……+1/2^n (1)
两边同时乘以 1/2,，得
1/2*Sn = 1/4+1/8+1/16+1/32……+1/2^(n+1) (2)
(1)-(2)，得 Sn -1/2*Sn = 1/2 - 1/2^(n+1)
即 (1-1/2)Sn = 1/2(1-1/2^n)
=> 1/2* Sn = 1/2(1-1/2^n)
所以 Sn = 1-1/2^n

Answer 2

根据题意当n趋向于无穷大时，各小块矩形的总面积等于正方形的面积。即1。

图形揭示的规律是

S=1/2+1/4+1/8+……+1/(2^n)=1    （n→∞） ①

为了用代数方法求上式无穷数列各项的和S，需要先计算它的一半——等于所有各项每项一半的总和——

S/2=14+1/8+1/16+……+1/[2^(n+1）]        （n→∞）②

①的两端分别减去②的两端，得S-S/2=1/2；

解方程得S=1,  

∴1/2+1/4+1/8+……+1/(2^n)=1。  （n→∞）  。