在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为abc,满足(a+c)/b=(sinA-sinB)/(sinA-sinC),求(a+b)/c的范围。

无脚鸟╰(⇀‸↼)╯
2013-10-12 · 知道合伙人教育行家
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知道合伙人教育行家
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现在为上海海事大学学生,在学习上有一定的经验,擅长数学。

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解:
利用正弦定理化简已知等式得:
(a+c)/b=(a−b)/(a−c),
化简得a^2+b^2-ab=c^2,
即a^2+b^2-c^2=ab,
∴cosC=(a^2+b^2−c^2)/2ab=1/2,
∵C为三角形的内角,
∴C=π/3
(a+b)/c
=(sinA+sinB)/sinC
=2/√3[sinA+sin(2π/3-A)]
=2sin(A+π/6),
∵A∈(0,2π/3),
∴A+π/6∈(π/6,5π/6),
∴sin(A+π/6)∈(1/2,1],
则(a+b)/c的取值范围是(1,2].
追问
2/√3[sinA+sin(2π/3-A)]
=2sin(A+π/6)中的详细过程
追答
2/√3[sinA+sin(2π/3-A)]

=2/√3(sinA+sin2π/3cosA-cos2π/3sinA)
=2/√3(sinA+√3/2cosA+1/2*sinA)
=2/√3(3/2sinA+√3/2cosA)
=2/√3*√3(√3/2sinA+1/2cosA)
=2sin(A+π/6)
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