Question

如图（1），在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点 E在AD上。

(1)求证：BE=CE；（2）若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图（2），∠BAC=45°，原题设其他条件不变，求证：△AEF≌△BCF.

图（1）

图（2）

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Answer 1

在ΔABD与ΔACD中，
AB=AC，AD=AD，BD=CD，
∴ΔABD≌ΔACD，
∴∠DAE=∠CAE，
在ΔABE与ΔACE中，
AB=AC，∠BAE=∠CAE，AE=AE，
∴ΔABE≌ΔACE，
∴BE=CE。

∵BF⊥AC。∠BAC=45°，
∴ΔABF是等腰直角三角形，∠CBF+∠C=90°，
∴BF=AF，
∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°，
∴∠CBF=∠DAC，
在△AEF与△BCF中：
∠AFE=∠BFC=90°，BF=AF，∠CBF=∠DAC，
∴△AEF≌△BCF(SAS)。