Question

设函数f（x）=mx^2-mx-1 （1）若对于一切实数x,f（x）<0恒成立，求m的取值范围 （2）对于x∈［1,3］,f（x

设函数f（x）=mx^2-mx-1
（1）若对于一切实数x,f（x）<0恒成立，求m的取值范围
（2）对于x∈［1,3］,f（x）<-m+5恒成立，求m的取值范围

Answer 1

(1)

mx^2-mx-1<0,
当m=0时，f(x)=-1<0对一切的x∈R,恒成立！
当m≠0时，
{m<0
{Δ=m^2+4m<0
-----------------------------------------------------
{m<0
{m(m+4)<0
-----------------------------------------------------
-4<m<0,
综合可知：
-4<m≤0
(2)
mx^2-mx-1<-m+5
m(x^2-x+1)<6
m<6/[(x^2-x+1)],对一切的x ∈[1,3] 恒成立，恒小就是左边的m比右边的最小值还要小；
先求右边的最小值，也就是分母(x^2-x+1)的最大值；
g(x)=x^2-x+1对称轴为：x=1/2,开口向上，函数g(x)在[1,3]上单调增，
所以，
g(max)=f(3)=7，
1/g(x) (min)=6/7
所以，
m<6/7

追问

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）的解集为（1,2），若f（x）的最大值大于1.求实数a的取值范围

追答

不等式f(x)不通顺，没有不等号，无法回答；

追问

f（x）>x

追答

设f(x)=ax^2+bx+c
不等式 f(x)>x可化为；
ax^2+(b-1)x+c>0
因为上式解集为；（1，2）所以，x1=1,x2=2是方程：
ax^2+(b-1)x+c=0 的两根，
由韦达定理：
3=1+2= -(b-1)/a==>(b-1)= - 3a,==>b=1-3a
2=1*2=c/a==>c=2a
将，
{b=1-3a
{c=2a
代入f(x)得：
f(x)=ax^2+(1-3a)x+2a
f(max)=[8a^2-(1-3a)^2]/(4a)＞1
(-a^2+6a-1)/(4a)＞1
因为，a0
(a-1)^2>0==>a≠1,
再与a<0求交集得：
a<0

Answer 2

1. m^2+4m<0,且开口向下（m<0）,得-4<m<0

2. 注意到该函数对称轴为x=1/2，所以有f（1）<-m+5,    且f(3)<-m+5.解得m<6/7

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