在一个半径为R的球内作一个内接圆锥,求圆锥的最大体积,并求出最大体积的圆锥的高
3个回答
2013-10-13
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取内接圆锥的截面,简化图形成为一个圆内接三角形
圆锥底面圆心,球心都在圆锥的高上
我不知如何上传图片,在这里说明下简化后的图形
三角形ABC,A为圆锥的顶点
球心即圆心为P,圆锥底面圆心即BC中点Q,BC为圆锥底面的直径,AQ垂直BC,P在AQ上
下面开始解题:
设圆锥的高为H
在直角三角形PQC中,QC即是圆锥底面半径
QC^2=PC^2-PQ^2
=R^2-(H-R)^2
=-H^2+2RH
由上式可知是一个以H为变量的二次方程,是一个抛物线
当H=R时值最大
V圆锥最大体积=1/3*Pi*QC^2*H=1/3*Pi*(-R^2+2R^2)*R=1/3*Pi*R^3
得出解为:当圆锥的体积最大时H=R,此时体积为1/3*Pi*R^3
QC^2指QC的平方,Pi指圆周率
圆锥底面圆心,球心都在圆锥的高上
我不知如何上传图片,在这里说明下简化后的图形
三角形ABC,A为圆锥的顶点
球心即圆心为P,圆锥底面圆心即BC中点Q,BC为圆锥底面的直径,AQ垂直BC,P在AQ上
下面开始解题:
设圆锥的高为H
在直角三角形PQC中,QC即是圆锥底面半径
QC^2=PC^2-PQ^2
=R^2-(H-R)^2
=-H^2+2RH
由上式可知是一个以H为变量的二次方程,是一个抛物线
当H=R时值最大
V圆锥最大体积=1/3*Pi*QC^2*H=1/3*Pi*(-R^2+2R^2)*R=1/3*Pi*R^3
得出解为:当圆锥的体积最大时H=R,此时体积为1/3*Pi*R^3
QC^2指QC的平方,Pi指圆周率
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本回答由蔚蓝精密有限公司提供
2013-10-13
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设内接圆锥的高为h,底面半径为r,体积为V,则V=π/3×r�0�5×h=π/3×r�0�5×(R+√(R�0�5-r�0�5)).
令r=Rcosθ(0<θ<π/2),于是
V=π/3×R�0�6×cos�0�5θ(1+sinθ)
=π/6×R�0�6(2(1-sinθ)(1+sinθ)(1+sinθ)
<=π/6×R�0�6((2(1-sinθ)+(1+sinθ)+(1+sinθ))/3)�0�6
=32/81×πR�0�6
当且仅当2(1-sinθ)=1+sinθ,即sinθ=1/3时等号成立,这时h=R(1+sinθ)=4/3×R
令r=Rcosθ(0<θ<π/2),于是
V=π/3×R�0�6×cos�0�5θ(1+sinθ)
=π/6×R�0�6(2(1-sinθ)(1+sinθ)(1+sinθ)
<=π/6×R�0�6((2(1-sinθ)+(1+sinθ)+(1+sinθ))/3)�0�6
=32/81×πR�0�6
当且仅当2(1-sinθ)=1+sinθ,即sinθ=1/3时等号成立,这时h=R(1+sinθ)=4/3×R
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2013-10-13
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V=1/3*pi*r2h
根据上式,明显R的影响比H要大的多,所以R最大,体积就最大啦。
我是这样认为的
根据上式,明显R的影响比H要大的多,所以R最大,体积就最大啦。
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