Question

高中数学题求解！！！有关圆锥曲线的！！！要有详细过程！！！

1、设F1、F2分别为椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的左右焦点，过F2的直线L与椭圆相交于A、B两点，直线L的倾斜角为60°，F1到直线L的距离为2√3。 （1）求椭圆C的焦距 （2）若向量AF2=2倍向量F2B，求椭圆C的方程

2、设椭圆E：x²/a²+y²/（1-a²）=1的焦点在x轴上 （1）若椭圆E的焦距为1，求E的方程 （2）设F1、F2分别是E的左右焦点，P为E上的第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上

3、椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1、F2，离心率为√3/2，过F1且⊥于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1 （1）求椭圆C的方程 （2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任意一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m,0），求m的取值范围

Answer 1

第一题：

第二题：

第三题：

来自网络，仅供参考，

因为 PM 是∠F1PF2 的角平分线，所以 F1M/MF2=PF1/PF2，M 一定在 F1 与 F2 中间；
-c<m<c；F1M=m+c，MF2=c-m；
因为 e²=c²/a²=(√3/2)²=3/4，所以 c=√3a/2，b²=a²-c²=a²(1-e²)=a²/4；

设 P 点坐标为(x,y)，则 PF1=√[(x+c)²+y²]=√[(x+c)²+b²-b²x²/a²]=√(3x²/4 +2cx+a²)；
类似地 PF2=√[3x²/4 -2cx+a²]；
∴ (m+c)/(c-m)=√(3x²/4 +2cx+a²)/√(3x²/4 -2cx+a²)=√[(3x²/4 +2cx+a²)/(3x²/4 -2cx+a²)]；
若 x=0，则 m=0；
若 0<x<a（m>0），则 (3x²/4 +2cx+a²)/(3x²/4 -2cx+a²)=1 +[4c/(3x/4 -2c+a²/x)]<1 +[4c/(3a/4 -2c+a)]=1+[(8√3)/(7-4√3)]=(7+4√3)/(7-4√3)=(7+4√3)²；（当 x=2√[(3/4)*a²]=√3a 时，上式有极大值，但按题意 x<a，上式只能在 x=a 处取得极大值）；
∴ (c+m)/(c-m)<7+4√3，解得 m<c[(6+4√3)/(8+4√3)]=√3c/2=3a/4；
类似地，若 -a<x<0（m<0），则 m>-√3c/2=-3a/4；
所以 -√3c/2 <m<√3c/2；

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