Question

在△ABC中，∠BAC=60，∠ACB=40，AP BQ分别平分∠BAC和∠ABC且分别交BC CA于点P，Q 求证BQ+AQ=AB+BP

Answer 1

解析：

延长AB到S，使BS=BP,则

AS=AB+BP,

∵∠PBA=80°，

∴∠BSP=∠BPS=40°=∠ACP，

∵∠SAP=∠CAP=30°，AP=AP,

∴△APS≌△APC,

∴AS=AC,

∵∠QBC=(1/2)∠ABC=40°=∠ACB,

∴QB=QC,

∴QA+QB=QA+QC=AC,

综上可得

AB+BP=AS=AC=AQ+QB,

即AB+BP=AQ+QB,

得证！
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Answer 2

在AC上取W点，使得AW=AB
由角关系可得
△BPC是等腰三角形，BP=CP
则AP+BP=AP+CP=AC(1)

由角关系可得
△QWC是等腰三角形，QW=CW（2）；
△BQW是等腰三角形，BQ=QW（3）；
由（2）和（3）得
BQ=QW（4）
而又因为∠BAC=60°，则△BAW是正三角形，则AB=AW（5）；
由（4）和（5）可得
BQ+AB=AW+QW=AC（6）
由（1）和（6）得
BQ+AB=AP+BP