Question

定义在R+上的函数f(x),对于任意的m,n∈R+,都有f(mn)=f(m)+f(n),x>1时,f(x)<0,

定义在R+上的函数f(x),对于任意的m,n∈R+,都有f(mn)=f(m)+f(n)成立,当x>1时,f(x)<0。（1）计算f（1）；（2）证明f（x）在R+上是减函数；（3）当f（2）=1/2时，解不等式f（x�0�5-3x）＞1.

Answer 1

解：（1）令m=1，n=0，则 f（0）=f（1）+f（0） ∴f（1）=0 （2）在R+上任取0＜x1＜x2，则 f（x2）-f（x1） =f（x2/x1·x1）-f（x1） =f（x2/x1）+f（x1）-f（x1） =f（x2/x1） ∵x1＜x2 ∴x2/x1＞1 由题意可知，当x＞1时，f（x）＜0 ∴f（x2/x1）＜0，即 f（x2）＜f（x1） ∴f（x）在R+上是减函数（3）这个很奇怪， 由题意可知， 当x＞1时，f（x）＜0， 可是f（2）怎么会等于1/2呢？

Answer 2

(1)
对于任意实数m,n∈(0,+∞),都有f(mn)=f(m)+f(n)成立
令m=n=1，得
f(1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0
即1是函数f(x)的零点

(2)
设a>b>0，则a/b>1，f(a/b)<0
令m=b, n=a/b, 则mn=a
f(a)=f(mn)=f(m)+f(n)=f(b)+f(a/b)
f(a)-f(b)=f(a/b)<0
f(a)<f(b)
所以f(x)是(0,+∞)上的减函数（3）f(x^2-3x)>1=2*0.5=f(2)+f(2)=f(4)因为是减函数，所以x^2-3x<4(x-4)(x+3)<0又因为x>0所以0<x<4

Answer 3

解:(1)f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1),故f(1)=0(2)在R+上任取x1>x2,依题意有:f(x1)=f(x2×x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)又因为x1>x2>0,故x1/x2>1,依题意有:f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0,即f(x1)<f(x2)故f(x)在R+上是减函数,得证(3)f(2)=1/2,f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=(1/2)+(1/2)=1故f(x�0�5-3x)>1=f(4)又因为f(x)在R+上是减函数,故有:0<x�0�5-3x<4解得x∈(-1,0)∪(3,4)