Question

急要，高中数学，求解！！！设函数f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）．

（1）若定义域内存在x0，使得不等式f（x0）-m≤0成立，求实数m的最小值；
（2）g（x）=f（x）-x2-x-a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，求a范围．
(3)若h(x)=f(x)+2ln(1+x)+alnx-1.当t≥1时，不等式h(2t-1)≥2h(t)-3恒成立，求实数a的取值范围.
前面两问我会，求第三问详细解答。

Answer 1

设函数f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）．

（1）若定义域内存在x0，使得不等式f（x0）-m≤0成立，求实数m的最小值；
（2）g（x）=f（x）-x2-x-a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，求a范围．
(3)若h(x)=f(x)+2ln(1+x)+alnx-1.当t≥1时，不等式h(2t-1)≥2h(t)-3恒成立，求实数a的取值范围.
前面两问我会，求第三问详细解答。

(3)解析：∵函数f(x)=(1+x)^2-2ln(1+x)

h(x)=f(x)+2ln(1+x)+alnx-1=(1+x)^2+alnx-1

∵当t≥1时，不等式h(2t-1)≥2h(t)-3恒成立

即要当t≥1时，不等式h(2t-1)≥2h(t)-3恒成立

只要使函数g(t)=h(2t-1)-2h(t)-3在t>=1时，单调增，且g(1)=0即可

h(2t-1)=(2t)^2+aln(2t-1)-1>=2(1+t)^2+2alnt-5

设g(t)=(2*t)^2-2(1+t)^2+4+aln(2*t-1)-2aln(t)=2(t-1)^2+aln(2*t-1)-2aln(t) (t>1/2)

g’(t)=4(t-1)+2a/(2t-1)-2a/(t)

g’’(t)=4-4a/(2t-1)^2+2a/t^2

令g’’(1)=4-2a>=0==>a<=2

当a<=2,t>=1时，g’(t)=4(t-1)+2a/(2t-1)-2a/(t)>=0

∴实数a的取值范围.a<=2