Question

已知a.b.c属于R。证明“ac小于0”是“关于X的一元二次方程ax平方+bx+c=o有两异号根”的充要条件

Answer 1

△=b^2-4ac。当△>0时，方程有两个不同的实数解；当△=0时，方程有两个相同的解；当△<0时，方程无实数解，但有虚数解。

证明：
（1）△=b^2-4ac 因为ac<0,所以△>0.所以方程有两个不同的实数解；充分条件~
（2）因为方程有两个不同的实数解；所以△=b^2-4ac>0.所以ac<0； 必要条件~~
由（1）和（2）得“ac小于0”是“关于X的一元二次方程ax平方+bx+c=o有两异号根”的充要条件

Answer 2

两根之间的关系：x1+x2=-b/a
x1x2=c/a

两根号根x1x2=c/a<0 则ac<0

Answer 3

由韦达定理，一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根x1,x2满足x1x2=c/a。
（1）充分性：如果ac<0,那么，根的判别式=b^2-4ac>=-4ac>0,因此方程有两个实根，且x1x2=ac*1/a^2<0,因此，方程有两个符号相异的实数根；
（2）必要性：如果方程ax^2+bx+c=0有两异号根，那么，x1x2<0,即c/a<0,a和c异号，进而，ac<0.
总之，“ac小于0”是“关于X的一元二次方程ax平方+bx+c=o有两异号根”的充要条件。