设函数y=f(x)在[0,1]上连续,且0<=f(x)<=1证明方程x=f(x)在[0,1]上至少有一个根
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0=<f(x)<=1
设f(m)=0，f(n)=1
其中0=<m<=1，0=<n<=1
构造函数g(x)=f(x)-x
则g(m)g(n)=[f(m)-m][f(n)-n]=(0-m)(1-n)<=0
当g(m)g(n)=0，g(m)=0或g(n)=0，则x=m或x=n是方程x=f(x)的根
当g(m)g(n)<0，f(x)连续，g(x)也连续，根据零点存在定理，在m与n之间必存在k，使得g(k)=0，即k是方程x=f(x)的根
所以方程x=f(x)在[0,1]上至少有一个根
设f(m)=0，f(n)=1
其中0=<m<=1，0=<n<=1
构造函数g(x)=f(x)-x
则g(m)g(n)=[f(m)-m][f(n)-n]=(0-m)(1-n)<=0
当g(m)g(n)=0，g(m)=0或g(n)=0，则x=m或x=n是方程x=f(x)的根
当g(m)g(n)<0，f(x)连续，g(x)也连续，根据零点存在定理，在m与n之间必存在k，使得g(k)=0，即k是方程x=f(x)的根
所以方程x=f(x)在[0,1]上至少有一个根
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