Question

为什么ln(1+x)约等于x/(1+x)当x远小于1

Answer 1

高中学习了导数，我利用导数证明。当x趋近于0时由导数的意义f'(x)=df(x)/dx.当x趋近于0,df(x0)=f(x0+x)-f(x)=f(x0)'x,所以f(x0+x)=f(x0)+f'(x0)x,令x0=0,则f(x)=f(0)+f'(0)x.此处f(x)=ln(1+x),所以当x趋近于0时有f(x)=ln1+(ln(1+x))'x=x/(1+x).(手打这么多字很辛苦的，给分吧～） 补充： 注意"x0"中0是下标 追问： 陡然发现是你。。。 ，北城别 的感言： 给你满分吧。。。

Answer 2

设函数y=（1+x）ln(1+x)-x
求导得：y的导=（1+x）*（1/(1+x)）+ln(1+x)-1=ln(1+x)
很显然在x>0时，ln(1+x)>0恒成立，所以函数y在x>0时为增函数。
现在考虑初值x=0时，y=0
所以在x>0时，y>0，
即当x>0时，（1+x）ln(1+x)>x