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如图,AB为圆O的直径,CD为弦,且CD垂直AB,垂足为点H
(1)角OCD的平分线CE交圆O于点E,连接OE,求证:E为弧ADB的中点(2)如果圆O的半径为1,CD=根号3,求点O到弦AC的距离...
(1)角OCD的平分线CE交圆O于点E,连接OE,求证:E为弧ADB的中点
(2)如果圆O的半径为1,CD=根号3,求点O到弦AC的距离 展开
(2)如果圆O的半径为1,CD=根号3,求点O到弦AC的距离 展开
2013-10-14
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注意到AB是直径,CH是高,
ABC是直角三角形
角ACO=角CAO=角CAB=角BCH=角BCD
所以如果CE是角OCD的平分线,那么也是角ACB的平分线
相等的圆周角所对的弧长相等
所以E为弧ADB的中点
OC^2=CH^2+OH^2
CH=(1/2)CD
所以OH=1/2=(1/2)OB
所以OH=HB
又因为CH垂直OB
所以OC=CB
所以三角形OCB是等边三角形
所以AC对的圆周角是角ABC=60度
CD对的圆周角是(1/2)角COD=角COH=60度
所以AC=CD
所以OH的长度是O到CD的距离,也是O到AC的距离。
所以是1/2
ABC是直角三角形
角ACO=角CAO=角CAB=角BCH=角BCD
所以如果CE是角OCD的平分线,那么也是角ACB的平分线
相等的圆周角所对的弧长相等
所以E为弧ADB的中点
OC^2=CH^2+OH^2
CH=(1/2)CD
所以OH=1/2=(1/2)OB
所以OH=HB
又因为CH垂直OB
所以OC=CB
所以三角形OCB是等边三角形
所以AC对的圆周角是角ABC=60度
CD对的圆周角是(1/2)角COD=角COH=60度
所以AC=CD
所以OH的长度是O到CD的距离,也是O到AC的距离。
所以是1/2
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证明⑴∵CE平分∠OCD
∴∠OCE=∠ECD
又∵OC=OE
∴∠OEC=∠OCE
∴∠OEC=∠ECD
∴OE‖CD
又∵AB⊥CD
∴AB⊥OE
∴AE=EB
⑵
∴∠OCE=∠ECD
又∵OC=OE
∴∠OEC=∠OCE
∴∠OEC=∠ECD
∴OE‖CD
又∵AB⊥CD
∴AB⊥OE
∴AE=EB
⑵
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