Question

如图，已知AB是圆O的直径，弦CD垂直AB，垂足为H。

（1）求证：AH*AB=AC^2
(2)若过A的直线与弦CD（不含端点）相交于点E，与圆O相交于点F，求证：AE*AF=AC^2;
(3)若过A的直线与直线CD相交于点P，与圆O相交于点Q，判断AP*AQ=AC^2是否成立（不必证明）
上述问题的图

Answer 1

（1）连接CB
因为AB是直径
所以角ACB=90度
因为角CAB=角CAB,角ACB=角AHC=90度
所以三角形ACH相似于三角形ABC
所以AC：AB=AH：AC
所以AH*AB=AC^2
(2)连接BC
因为AB是直径
所以角AFB=90度
因为角BAF=角BAF,角AFB=角AHE
所以三角形AHE相似于三角形AFB
所以AE:AB=AH：AF
所以AF*AE=AB*AH
因为AB*AH=AC^2
所以AF*AE=AC^2
（3）成立

Answer 2

第一问用射影定理直接得出。第二问，角AFB与EHB都是90度，EHBF四点共圆，AE*AF=AH*AB=AC^2
第三问，成立