Question

数学上的封闭到底是什么概念

我在线性代数的学习过程中，看到两个封闭的例子：
V={x=(0,A, ...,Z)^T|A,...,Z∈R}，则(0,2A,...,2Z)^T属于V
V={x=(1,A, ...,Z)^T|A,...,Z∈R}，则(2,2A,...,2Z)^T不属于V
定义我看得本来就晕，再看了上面2个具体例子就更晕了，想问封闭到底是什么意思呢？
能用下面的具体的带入的数值解释一下吗？
V={x=(0,1, ...,26)^T|A,...,Z∈R}，则(0,2,...,52)^T属于V
V={x=(1,1, ...,26)^T|A,...,Z∈R}，则(2,2,...,52)^T不属于V
如果说(2,2,...,52)^T不属于2式的V，那(0,2,...,52)^T应该也属于1式的V啊，看不懂，求解！

Answer 1

所谓封闭也就是指值域，上面的例子，第一个是x的集合与T或与A~Z字母集合的交集，他们的封闭就是相加后的最小值到最大值，也就是的值域范围。值域中最小的是0，最大的是zz。第二个·例子最小值是1，而不是2，下面的你应该会分析了吧

追问

你所指的最小值和最大值，是向量中所有元素的最值吗？
还是按顺序来说的呢，非零值与常量相乘肯定会变的吧？
最后得到的肯定是两个不同的向量，为什么还会相等呢？

追答

不是的，他们之间不是乘的关系，是加的关系，是z^z=2z,不是zz

追问

2Z应该不属于 V={x=(1,A, ...,Z)^T|A,...,Z∈R} 吧，因为里面没有一项元素等于2Z
我脑子不好，还是不懂怎么判断封闭，哎！

追答

x中的z和A-Z的z相加啊。那你应该知道知道：^是并的意思，\是或的意思·吧

追问

哦，是你误会了，其实T是上标，因为打不出来，就用了“^”符号代表次方。

Answer 2

因为V={x=(0,A, ...,Z)^T|A,...,Z∈R}，第一个元素为0，后面的元素都是实数，显然(0,2A,...,2Z)^T符合第一个元素为0，其余为实数，因此其属于V；
V={x=(1,A, ...,Z)^T|A,...,Z∈R}，第一个元素明确为1，而(2,2A,...,2Z)^T第一个元素为2、不为1，显然(2,2A,...,2Z)^T不属于V。

追问

那么a =（0，1，2，3）也不属于封闭么，因为2a =（0，2，4，6）
这时候第二个元素为2，不为1，所以就不属于 a 了么
感觉好像只有全0的向量才满足条件一样，应该不是这样吧

追答

V={x=(0,A, ...,Z)^T|A,...,Z∈R}

这里V表示的就是第一个元素为0，剩下的都是实数啊，也就是只要第一个元素为0，剩下的只要都是实数即可。显然(2,2A,...,2Z)^T是一个特例，(2,2A+1,...,2Z)^T也是属于V的。
不知你明白没有。

追问

可是 0 也是实数，而且带 0 的1式才算封闭的，2式和1式就差一个0。
“显然(2,2A,...,2Z)^T是一个特例，(2,2A+1,...,2Z)^T也是属于V的”按照书上说的好像这2个式子都不属于V呢。

追答

V={x=(0,A, ...,Z)^T|A,...,Z∈R} 看看只有A,...,Z∈R，第一个元素一定为0

追问

是的，如果所有元素全都为0我就懂了，而现在只有第一个元素为0，其他元素不一定为0我就不懂了。
如果第 2 个元素为 0 其他元素不为 0 的计算结果应该一样吧。
那么到底有几个元素可以为 0 呢，规定到底要有多少个元素必须为 0 才可以算作封闭呢。

追答

V={x=(0,A, ...,Z)^T|A,...,Z∈R} 这是一个集合，其是一个怎样的集合呢？

它是第一个元素为0，其余元素为实数的响亮组成的集合；
举个例子
V1={x=(0,A, B^T|A,B∈R}
那么(0,1,1)属于V1
(0,1,2)属于V1
(0,11,12)属于V1
(0,1,12)属于V1
(0,21,98)属于V1
只要第一个元素为0，后两个元素为实数的 都属于V1

Answer 3

你确定没抄错？求例子出处。

追问

同济大学《线性代数》103页，18、19题

追答

问题已经解决了，楼主加油吧。