Question

数学:怎样区分必要条件、充分条件和充要条件？

Answer 1

1.对充要条件的理解

对于命题“若p则q”，即p是条件，q为结论.

(1)如果已知p q，我们就说p是q的充分条件，q是p的必要条件.

例如，“若x=y,x2=y2”是一个真命题，可写成

x=y x2=y2

“x=y”是“x2=y2”的充分条件，

“x2=y2”是“x=y”的必要条件.

(2)如果既有p q，又有q p，就记作

p q.

这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件.

例如，命题p：x+2是无理数，

命题q：x是无理数.

由于“x+2是无理数” “x是无理数”，所以p是q的充要条件.

2.从逻辑推理关系上看

充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的下列关系：

①若p q，但q p，则p是q的充分但不必要条件；

②若q p，但p q，则p是q的必要但不充分条件；

③若p q，但q p，则p是q的充要条件；

④若p q，且┒p ┒q，则p是q的充要条件；

⑤若p p，且q p，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

3.从集合与集合之间关系上看

若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则

①A B，则p是q的充分条件；

②若A B，则p是q的必要条件；

③若A＝B，则p是q的充要条件；

④若A�B，且A�B，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

从集合的观点来判断充要条件的思考方法，可以进一步加深对充要条件的理解.

4.应用充分条件，必要条件，充要条件时须注意的问题.

(1)充分而不必要条件，必要而不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件，反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要注意以下几点：

①确定条件是什么，结论是什么；

②尝试从条件推结论，结论推条件；

③确立条件是结论的什么条件；

④要证明命题的条件是主要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性.

(2)对于充要条件，要熟悉它的同义词语.

在解题时常常遇到与充要条件同义的词语，如“当且仅当”“必须且只须”“等价于”“……反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言，对理解和把握数学知识是十分重要的

Answer 2

对于两个命题p、q若P则q,我们就说p是q的充分条件，q是p的必要条件若p则q,并且若q则p，我们就说p、q互为充要条件（即：p既是q的充分条件，也是q的必要条件；q既是p的必要条件，也是p的必要条件）----------------在实际应用时，对给出的命题p、命题q（1）命题p能否推导出命题q能.....即：若p则q,那么p是q的充分条件，q是p的必要条件......(A)否.....即p不是q的充分条件......(B)------呵呵，“推导”在这里就比较关键了，我们没推导出，或许别人推导出了....汗个~~~这就要求我们多快好省的熟悉各个知识点----（2）命题q能否推导出命题P能....即：若q则p，那么q是p的充分条件，p是q的必要条件......(C)否......即q不是p的必要条件......(D)如果（A）（C），那么p与q互为充要条件如果（A）（D），那么p是q的充分条件如果（B）（C），那么p是q的必要条件如果（B）（D），那么p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件------------------我喜欢集合用集合的概念去理解A={x│x满足的条件是p(x)},B={ x│x满足的条件q(x)}A是B的子集，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件（反之亦然）A=B,那么p与q互为充要条件（反之亦然）---学习这段内容时，师傅最爱举例：x=1是x^2=1的充分条件，对么？A={1}，B={-1,1},A是B的子集--- x>7是x>10的必要条件区间（10，+∞）是区间（7，+∞）的子集-------

Answer 3

要条件　　如果能从命题p推出命题q,也能从命题q推出命题p
　　条件p是条件q的充分条件，条件q是条件p的必要条件
　　以上是从逻辑推理关系说明
　　我们也可以从元素、集合的角度看
　　集合A=集合B 则A是B的充分必要条件,简称充要条件
　　如果命题A是命题B的充要条件,那么命题B也是命题A的充要条件
　　“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p则q”形式的命题为真时，就记作p q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.
　　简单的说就是在证p与q时,前面那个推出后面那个就是充分条件，后面那个推出前面那个就是必要条件，前面能推出后面后面也能推出前面就是充要条件.

Answer 4

两条件M和N，如果由M能推导出N，而由N推不出M，那么M是N的充分不必要条件，N是M的必要不充分条件，如果M能导出N而N也能导出M则M是N的充要条件，N也是M的充要条件

Answer 5

再说详细点。
一般数学教科书里面遇到的表述是这样的：
请证明“A成立”的充分必要条件是“B成立”。
很多同学分不清，证明充分性（或者必要性）到底是A到B，还是B到A，这里梳理一下逻辑思路。
可以把这句话拆分为两部分：
1、证明“A成立”的必要条件是“B成立”。
2、证明“A成立”的充分条件是“B成立”。
对于情况1，文字解读就是说B是必要的，必要的意思就是“无B就无A”，而大家知道逆否命题（无B就无A）和原命题（由A推B）是等价的，所以证明必要性，就是A推B；
对于情况2，自然就知道证明充分性就是B推出A，文字解读就是B充分了，足够推出A。