Question

知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF=DE． （1）如图1，判断AE

知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF=DE．
（1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；
（2）如图2，对角线AC与BD交于点O．BD，AC分别与AE，BF交于点G，点H．
①求证：OG=OH；
②连接OP，若AP=4，OP=根号
2
，求AB的长

Answer 1

解：
（1）AE=BF，AE⊥BF．
证明：在△ABF和△DAE中，
AB＝AD,，
∠BAF＝∠ADE＝90º,
AF＝DE,
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴BF=AE，∠BFA=∠AED，
又∠EAD+∠AED=90°，
∴∠BFA+∠AED=90°，
∴AE⊥BF；

向左转|向右转

（2）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=∠AOG=90°，OA=OB，∠ABO=∠DAO=45°，
∵∠DAE=∠ABF（已证），
∴∠ABO-∠ABF=∠DAO-∠DAE，
即∠OAG=∠OBH，
在△OAG和△OBH中，

∠OAG＝∠OBH，
OA＝OB，
∠AOB＝∠AOG＝90°，
∴△OAG≌△OBH（ASA），
∴OG=OH；

向左转|向右转

②解：如图2，
过点O作OM⊥AE于M，作ON⊥BF于N，
∵△OAG≌△OBH（已证），
∴∠OGA=∠OHB，
在△OGM和△OHN中，
∠OMG＝∠ONH＝90°，
∠OGA＝∠OHB，
OG=OH，

∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴OM=ON，
∴四边形OMPN是正方形，
∵OP＝√2，
∴PM＝OM＝√2×√2／2＝1，
∵AP=4，
∴AM=AP+PM=4+1=5，
在Rt△AOM中，
OA²＝AM²＋OM²＝5²＋1²＝26，
∴OA＝＝√26.
∴正方形ABCD的边长AB=√2·OA＝2√13。

Answer 2

（1）垂直 证三角形ABF全等于三角形DAE，，得到角相等， 角1加角2等于90度 ，又角1等于角3，所以角2加角3等于90度。
（2）在三角形AHP和三角形BOH中，对顶角相等，俩直角相等，所以角GAO等于角HBO,三角形AOG和三角形BOH中，AO等于BO，用ASA证明全等，得到OG=OH.

Answer 3

以前读书时都知道，现在都忘了