Question

如图所示,已知CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,连接AO求证:

（1）当∠1=∠2时，OB=OC；
（2）当OB=OC时，∠1=∠2

Answer 1

(1)∵CD⊥AB，BE⊥AC,AO平分∠BAC,
∴OE=OD（角平分线的性质）
∵CD⊥AB,BE⊥AC
∴∠CEO=∠BDO=90°
∠COE=∠BOD(对顶角）
在△COE和△BOD中
∠COE=∠BOD
OD=OE
∠CEO=∠BDO
∴△COE≌△BOD
∴OB=OC
(全等三角形的对应边相等)

(2)证明：∵CD⊥AB于D点，BE⊥AC于点E
∴∠BDO=∠CEO=90°
在△BDO和△CEO中
{∠BDO=∠CEO∠BOD=∠COEOB=OC
∴△BDO≌△CEO（AAS）
∴OD=OE
∵OD⊥AB，OE⊥AC，OA=OA
∴直角三角形AOD≌直角三角形AOE
∴∠1=∠2．

追问

（1）小题
∴△COE≌△BOD
的理由和哪些条件

追答

∠COE=∠BOD
OD=OE
∠CEO=∠BDO

Answer 2

证明： 当∠1=∠2时
∵CD⊥AB BE⊥AC
∴∠ADO=∠AEO=90°
∵AO=AO
∴ △ADO≌△AEO
∴DO=OE
∵∠BDO=∠CEO=90°
∵∠BOD=∠COE
∴ △BOD≌△COE
∴OB=OC
(2) 当OB=OC
∵∠BDO=∠CEO=90°
∵∠BOD=∠COE
∴ △BOD≌△COE
∴DO=OE
∴AO是∠BAC的平分线 (角平分线到角两边的垂直距离相等）
∴∠1=∠2