Question

证明:若n阶行列式位于s个行与t个列的交点处的元素都为0,且s+t>n,则行列式为0

Answer 1

先考虑特殊情况: 前s行后t列上的元素为0
此时行列式具有类似于如下结构(下图s=4,t=3)
x x 0 0 0
x x 0 0 0
x x 0 0 0
x x 0 0 0
x x x x x
将前s行s列做为一块对角块A11, 后t行t列作为一块对角块A22, 得到分块对角结构
A11 0
A21 A22
行列式为det(A11)det(A22)
注意到A22的第一行全为0, 所以行列式为0

对于一般情况, 进行行列排序换成上述情况即可.

Answer 2

看了一下别人的答案，都考虑到矩阵的相关内容。我觉得还是按照定义来讲比较好，如下。
由行列式定义知，n阶行列式是取自不同行不同列元素的代数和，又因为s+t>n,故行列式的每一项必定会取s与t交叉处的元素，故行列式值为零。

Answer 3

　　就是右下三角和对角线上的元素都为0。
　　只要有一行或一列上元素全为0，该行列式为0。