Question

几个关于连续性的高数题目，求教

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Answer 1

其实太简单了，第一题：构造函数f(x)=asinx+b-x，求导，考察下函数f(x)的单调性就能得到答案。
第二题：构造函数g(x)=f(x)-f(x+a)，对函数g(x)在区间[0,a]上利用洛儿定理即可。
第三题：这个平均值肯定介于所有的f(x_i)中的最大值与最小值之间，在区间[x_1,x_n]上利用连续函数的介值定理即可。

追问

我知道第二题用罗尔定理了，跪求简单的过程

追答

对于第二题：如上述，有g(0)=f(0)-f(a)=f(2a)-f(a)=-[f(a)-f(a+a)]=-g(a)。所以连续函数g在区间[0,a]上，它的两个端点值要么同为0要么异号，若同为0则问题得证，否则根据介值定理，函数g在区间[0,a]上存在0点，即在区间[0,a]上至少存在一个点x，使得g(x)=0。故g(x)=f(x)-f(x+a)=0，即f(x)=f(x+a)。

Answer 2

做差求证有零点，代入两点，证明一个使其值大于0 一个使其值小于等于0
三题题目基本类似

追问

就是第二张图片

追答

第二题的话令G（x)=f(x+a)-f(x)则
G（0)=f(a)-f(0)=f(a)-f(2a) 若G（0)=0 则存在零点 0 使得成立
G（a)=f(2a)-f(a) 若G（a)=0 则存在零点 a 使得成立
若以上都不为0 则在【0 a】存在ξ，有 G（ξ)=0 【由G（0)，G（a)异号】

追问

这是什么定理啊？

追答

零点定理

追问

QQ行么？我加你

追答

零点定理数学分析里有的啊。。。