Question

数列有极限的证明

lim n^2-2 / n^2+n+1 = 1

n趋近于无穷，怎样证明，详细的过程

Answer 1

用定义ε-N来证明：
证明：任取任意小的正数ε>0
由|(n²-2)/(n²+n+1) -1|
=(n+3)/(n² +n+1)<(n+3)/n² < 2n/n²=2/n<ε （注意：为了容易找到N，放缩了不等式(n+3)/(n² +n+1)<(n+3)/n² < 2n/n²）
解得n>2/ε
只要取N=[2/ε]+1，则对于正整数N，存在N，当n>N时，恒有|(n²-2)/(n²+n+1) -1| <ε
由极限的定义知lim (n²-2) / (n²+n+1 )= 1(n→∞)

追问

为什么n+3<2n

追答

当n>3时，有n+3<2n
实际上取N时，要使取N=max([2/ε]+1,3)

Answer 2

分子分母同除以n^2
分子为1-2/n^2 ~ 1
分母为1+1/n+1/n^2 ~1
所以极限为1

追问

用精确定义如何证明，，就是将它减1之后怎样证明

追答

这也是精确证明！不是说你那个精确这就不精确

|(n^2-2)/(n^2+n+1) -1| =(n+3)/(n^2 +n+1)
N, 上式差值小于e，根据定义得证