Question

已知集合A={x|x=3a+5b a, b∈Z} B={y|y=7m+10n m,n∈Z}，试证A=B

Answer 1

x属于B
x=7m+10n=3*(4m)+5*(2n-m)
4m 2n-m均为整数
x也属于A
所以B是A的子集
若x属于A
x=3a+5b=7*(5b-a)+10*(a-3b)
5b-a a-3b均为整数
所以x也属于B
所以A=B

Answer 2

A={x|x=3a+5b a, b∈Z} B={y|y=7m+10n m,n∈Z}
我证明A＝Z
B＝Z

(3，5)=1
由裴蜀定理
存在x，y
使3x＋5y=1
x=7
y=-4
就是一组
3＊(7k)+5(-4k)=k
所以A＝Z

(7，10)=1
由裴蜀定理
存在x，y
使7x＋10y=1
x=3
y=-2
就是一组
7＊(3k)+10(-2k)=k
所以B＝Z

所以A=B