Question

在数列｛an｝中，a1=1,an+1=1-1/(4an),bn=2/((2an)-1)。求证数列｛b

在数列｛an｝中，a1=1,an+1=1-1/(4an),bn=2/((2an)-1)，其中n属于N*。(1)求证数列｛bn}是等差数列，并求an的通项公式(2)设cn=an*(2/n+1)，数列{cn*c(n+2)}的前n项和Tn，是否存在正整数m，使得Tn<1/(cmc(m+1))，对于n属于N*恒成立，若存在，求出m最小值，若不存在，说明理由。
主要是第二题的恒成立不会做，打字好累哦！谢谢各位帮助

Answer 1

(1)a<n+1>-1/2=1/2-1/(4an),
两边取倒数，得2/(2a<n+1>-1)=4an/(2an-1)=2+2/(2an-1),
bn=2/(2an-1),a1=1,
∴b1=2,b<n+1>=2+bn,
∴数列{bn}是公差为2的等差数列，
bn=2n,
∴2an-1=1/n,an=(n+1)/(2n).
(2)cn=an*2/(n+1)=1/n,
cn*c<n+2>=1/[n(n+2)]=(1/2)[1/n-1/(n+2)],
∴数列{cn*c<n+2>}的前n项和Tn=(1/2)[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+……+1/n-1/(n+2)]
=(1/2)[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]
<3/4
<1/(cmc<m+1>)=m(m+1),m,n是正整数，
∴m的最小值=1.

Answer 2

(1)
a(n+1)=1-1/(4an)
= (4an-1)/(4an)
a(n+1) - 1/2 = (4an-1)/(4an) -1/2
[2(an+1)-1]/2 = (2an-1)/(4an)
2/[2(an+1)-1] = 4an/(2an-1)
= 2 + 2/(2an-1)
2/[2(an+1)-1] - 2/(2an-1) =2
{bn}是等差数列

1/[2(an+1)-1] - 1/(2an-1) = 1
{ 1/(2an-1) } 是等差数列, d=1

1/(2an-1)-1/(2a1-1)=n-1
1/(2an-1) = n
2an -1 = 1/n
an = (n+1)/(2n)

(2)
cn = an.(2/(n+1))
=[(n+1)/(2n)] . 2/(n+1)
= 1/n
cn.c(n+2) = 1/[n(n+2)]
= (1/2)[ 1/n -1/(n+2)]
Tn = c1.c3+c2.c4+...+cn.c(n+2)
= (1/2)[ 1+ 1/2 - 1/(n+1) - 1/(n+2) ]
< (1/2)(1+1/2)
= 3/4
1/[cm.c(m+1)] > 3/4
1/[m(m+1)] > 3/4
4m^2+4m -3<0
(2m-1)(2m+3)<0
-3/2<m< 1/2
不存在正整数m，使得Tn<1/(cmc(m+1))