Question

在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠DAC=2∠BAC。求证：∠DBC=2∠BDC。

Answer 1

要证明这一题主要是运用角的转化，因为∠DAC=2∠BAC，所以我们可以把所求角转化成n∠BAC。
证明：因为AB=AC=AD,
所以，在三角形ABD中，∠ADB=ABD=（180-∠BAD）/2=(180-∠BAC-∠DAC)/2=(180-3∠BAC)/2
在三角形ACD中，∠ADC=∠ACD=（180-∠DAC）/2=(180-2∠BAC)/2
在三角形ABC中，∠ABC=∠ACB=（180-∠BAC）/2
在三角形BCD中，∠BDC+∠DBC=180-∠ACB-∠ACD==3∠BAC/2
又因为，∠ABD+∠DBC=∠ACB
所以，∠ABC=∠ACB-∠ABD=（180-∠BAC）/2-(180-3∠BAC)/2=∠BAC
所以，∠BDC=∠BAC/2
即，∠DBC=2∠BDC，得证

Answer 2

证明: 设AC,BD的交点为0点
AD=AB所以∠ADB=ABD
∠AOB=∠DOC
∠CAB+∠DBA=∠BDC+∠DCA推出∠CAB+∠DBA=2∠CDB+∠ADB推出∠CAB=2∠CDB推出
2∠DAC=4∠CDB推出∠DAC=4∠CDB
∠DOA=∠COB
∠BDA+∠DAC=∠DBC+∠CBA推出∠BDA+∠DAC=2∠DBC+∠DBA推出∠DAC=2∠DBC
所以4∠CDB=2∠DBC推出2∠CDB=∠DBC

Answer 3

设∠BAC=T.∠CBD=Y.∠CDB=X.

∠ABD=∠ABC-∠CBD＝[（180°－T）/2]-Y＝（180°-3T）/2
＝[（180°-2T）/2]-X.

两个式子消去T,得：Y＝2X.此即欲证者。