Question

（tanX-X）/（X-sinX）求x趋于0时的极限

Answer 1

这是一个 0/0 型的极限，可以使用罗必塔法则：
=lim [(secx)^2 - 1]/(1-cosx)
还是一个 0/0 的极限，继续使用罗必塔法则：
=lim 2secx*(-tanx)*(secx)^2 /sinx
=lim -2(secx)^4 *sinx/sinx
=-2*lim(secx)^4
=-2

追问

答案错了，内涵数secx的求导是secx×tanx

答案错了，内涵数secx的求导是secx×tanx

追答

确实弄错了！口算能力下降了！v_v
=lim2secx*(tanx*secx)/sinx
=2*lim (secx)^3
=2

Answer 2

追问

上面的变换是怎么一回事？tanx不是等价无穷小于吗？

追答

这种做法避免了求导得复杂性，但你得记住几种典型函数的泰勒展开式。
x→0时，sinx~tanx~x没错，但这种等价仅能用于乘除。不适用加减的运算。但是这题分子、分母有加减，而非仅有乘除，故要用泰勒展开进行计算。如果你不想这样算的话，只能用罗比达法则同时对分子、分母求导去算，其实结果是一样的。

Answer 3

tanx-x~1/3x^3
x-sinx~1/6x^3
（tanx-x）/（x-sinx）＝（1/3x^3）/（1/6x^3）＝2186