Question

二元一次方程的正整数解方法，公式，例题

如3a+4b=31,4x+2y=20

Answer 1

二元一次方程的正整数解是通过讨论而得到的，如： 3a + 4b = 31解的过程
解把其中的一个未知数b移到方程的一边得： 3a = 31 - 4b
方程两边同时同时除以3得： a = (31 - 4b)/3
然后分情况讨论：
当b = 1时，a = (31 - 4×1）/3 = 9，此时 a = 9，b = 1满足方程3a + 4b = 31的解
当b = 2时，a = (31 - 4×2）/3 = 23/3，此时 a 不是整数，方程此时无满足条件的整数解
当b = 3时，a = (31 - 4×3)/3 = 19/3，此时 a 不是整数，方程此时也无满足条件的整数解
当b = 4时，a = (31 - 4×4)/3 = 15/3 = 5，此时a = 5，b = 4满足方程3a + 4b = 31的解
当b = 5时，a = (31 - 4×5)/3 = 11/3，此时 a 不是整数，方程此时也无满足条件的整数解
当b = 6时，a = (31 - 4×6)/3 =7/3，此时 a 不是整数，方程此时也无满足条件的整数解
当b = 7时，a = (31 - 4×7)/3 =1 ，此时，a=1, b=7满足方程3a + 4b = 31的解
所以，该一元二次方程的所有正整数解是： a=9, b=1；a=5,b=4；a=1,b=7
综上所述在讨论二元一次方程的整数解时，应先对该一元二次方程进行整理，用一个未知数来表示另一个未知数，即用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数，然后进行分类讨论，就可以得到一元二次方程的所有正整数解。
当然，你可以使用同样的方法来解4x + 2y = 20

追问

只有b=1~7一个个讨论啊？如果数字大了怎么办啊

追答

求二元一次方程的整数解确实没有公式，但在讨论时可以简化讨论步骤。如上面的问题可进一步化为：
a = (31-4b)/3 = 31/3 - 4b/3 = (30/3 - 3b/3) - (1/3 - b/3) = (10 - b) +(1- b)/3
上面的式子在讨论应满足这样两个条件：
（1）(10－b)+ (1-b)/3 > 0
(2) (1-b)/3必须是整数
所以b只取1，4，7进行讨论，不知你还不什么问题。