Question

设f(x)为定义域(-l,l)内的奇函数，若f(x)在(0,l)内单调增加，证明f(x)在(-l,0)内也单调增加

我要的是详细的证明过程，谢谢合作，非诚勿扰……

Answer 1

标准形式
证:
∵f(x)在(0,l)内单调增加 设0<x1<x2<1所以f(x1)<f(x2)
∵f(x）是在(-l,l)奇函数 所以f(x)=-f(-x)
∴f(x1)<f(x2)可以变形为-f(-x1)<-f(-x2)
也就是f(-x2)<f(-x1)
∵0<x1<x2<1,所以 -1<-x2<x1<0
∴f(x)在(-l,0)内也单调增加

Answer 2

证明：
取任意0<m<n<1,由题意得，f(m)<f(n);
因为f(x)为定义域(-l,l)内的奇函数，
所以f(x)=-f(-x)；
则f(-m)=-f(m),f(-n)=-f(n)；
所以f(-m)>f(-n);
又因为0>-m>-n>-1;
又因为m,n有任意性，所以f(x)在(-l,0)内也单调增加

Answer 3

设-1<x1<x2<0,则0<-x2<-x1<1,f(-x2)<f(-x1)
奇函数：f(x1)=-f(-x1),f(x2)=-f(-x2)
f(x1)-f(x2)=-(f(x1)-f(x2))<0
所以在(-l,0)内也单调增加

Answer 4

证明：
取任意0<m<n<1,由题意得，f(m)<f(n);
因为f(x)为定义域(-l,l)内的奇函数，
所以f(x)=-f(-x)；
则f(-m)=-f(m),f(-n)=-f(n)；
所以f(-m)>f(-n);
又因为0>-m>-n>-1;
又因为m,n有任意性，所以f(x)在(-l,0)内也单调增加