Question

高中一关于极坐标与参数方程的数学题（急）

已知圆（x-2cosa）^2+(y+2cos2a-2)^2=1
(1)求圆心的轨迹方程。
（2）若存在过P（0，b）的直线方程交圆于点A,B，且|PA|，|AB|, |PB| 构成等比数列，求b的取值范围。

Answer 1

（1）圆心 C 坐标 (2cosα,2-2cos2α)，即坐标 x=2cosα，坐标 y=2-2cos2α=4cos²α=x²；
圆心轨迹在抛物线 y=x² 上；
（2）若 |PA|，|AB|, |PB| 构成等比数列，则 |AB|²=|PA|*|PB|，显然 P 点不能在 A 与 B之间（那样就有 |PA|<|AB|、|PB|<|AB|，题给条件无法满足），即 P 点在圆外；根据圆的切割线定理，P 至圆的切线长的平方等于 |PA|*|PB|，即 |PC|²-R²=|PA|*|PB|；
所以 |AB|²=|PC|²-R²=[x²+(b-x²)²]-1²，又 0≤|AB|²≤(2R)²=4，故 0≤x²+(b-x²)²-1²≤4；
从 x²+(b-x²)²-1≥0 得：b-x²≤-√(1-x²) 或 b-x²≥√(1-x²) → b≤0，或 b≥1 即可保证 x 有解；
从 x²+(b-x²)²-1≤4 得：-√(5-x²)≤b-x²≤√(5-x²) → x²-√(5-x²)≤b≤x²+√(5-x²) → -√5≤b≤21/4；
因此 -√5≤b≤0 或（和）1≤b≤21/4；