Question

已知函数f(x)=x+4/x。证明:f(x)在区间(0，2)单调递减

Answer 1

解设x1，x2属于(0，2)，且x1＜x2
则f(x1)-f（x2）=（x1+4/x1）-（x2+4/x2）
=（x1-x2）+4*（1/x1-1/x2）
=（x1-x2）+4*（x2/x1x2-x1/x2x1）
=（x1-x2）+4*[（x2-x1）/x2x1]
=（x1-x2）-4*[（x1-x2）/x2x1]
=（x1-x2）（1-4/x1x2）
=（x1-x2）（（x1x2-4）/x1x2）
由x1＜x2，且x1，x2属于(0，2)，
即x1-x2＜0
x1x2＞0
又有x1＞2，x2＞2，即x1x2＞4
即x1x2-4＞0
即（x1-x2）（（x1x2-4）/x1x2）＜0
即f（x1）-f（x2）＜0
即f(x)在区间(0，2)单调递减。