Question

证明:函数f(x)=x+4/x(x>0)在区间(0,2)上递减

Answer 1

令x1，x2是区间(0，2)上的任意值，且x1>x2
则f(x1)-f(x2)=(x1+4/x1)-(x2+4/x2)
=(x1-x2)+4(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+4*(x2-x1)/(x1x2)
=(x1-x2)[1-(4/x1x2)]
=(x1-x2)[(x1x2-4)/(x1x2)]
因为x1,x2均在区间(0,2)上，且x1>x2
则有，0<x2<x1<2
当x1,x2均为2时，x1x2=4
所以有，x1x2<4
故有：x1-x2>0，x1x2-4<0，x1x2>0
所以此三者的乘积小于0
即：f(x1)-f(x2)<0
即，f(x1)<f(x2)
综上所述：f(x)在区间(0,2)上是递减函数

Answer 2

f（x）‘=1-4/x2（方）
区间（0，2）f（x）‘《0
所以递减