Question

已知f(x)=x-a/x^2+bx+1是奇函数

已知f(x)=x-a/x^2+bx+1是奇函数 求a b的值 求f(x)的单调区间并加以证明

Answer 1

答：
f(x)=(x-a)/(x²+bx+1)是奇函数：
f(-x)=-f(x)
f(-x)=(-x-a)/(x²-bx+1)=-f(x)
=-(x-a)/(x²+bx+1)
所以：
(x+a)/(x²-bx+1)=(x-a)/(x²+bx+1)
(x+a)(x²+bx+1)=(x-a)(x²-bx+1)
x³+bx²+x+ax²+abx+a=x³-bx²+x-ax²+abx-a
(a+b)x²+a=-(a+b)x²-a
(a+b)x²=-a恒成立
所以：
(a+b)x²=-a=0
所以：
a=0
a+b=0
解得：a=0，b=0

f(x)=x/(x²+1)，定义域为实数范围R
求导：
f'(x)=1/(x²+1)-2x²/(x²+1)²
=(x²+1-2x²)/(x²+1)²
=(1-x²)/(x²+1)²
解f'(x)=0得：1-x²=0，x1=-1，x2=1
当x<-1或者x>1时，f'(x)<0，f(x)是减函数
-1<x<1时，f'(x)>0，f(x)是增函数
所以：
单调减区间为（-∞，-1）或者（1，+∞）
单调增区间为（-1,1）