Question

函数 f（x）对任意的a，b∈R，都有 f（a+b）=f（a）+ f（b）-1，且当x>0时，f（x）>1

函数 f（x）对任意的a，b∈R，都有 f（a+b）=f（a）+ f（b）-1，且当x>0时，f（x）>1
（1）求证：f（x）是R上的增函数
（2）若f（4）=5，解不等式f（3-2m）<3

Answer 1

函数 f（x）对任意的a，b∈R，都有 f（a+b）=f（a）+ f（b）-1，且当x>0时，f（x）>1
（1）求证：f（x）是R上的增函数
（2）若f（4）=5，解不等式f（3-2m）<3

(1)证明：∵函数 f（x）对任意的a，b∈R，都有 f（a+b）=f（a）+ f（b）-1
令a=b=0，代入得f(0+0)=f(0)+f(0)-1==>f(0)=1
令x>0，则-x<0
f(x)+f(-x)=f(x-x)+1=2
∵f(x)>1,∴f(x)=2-f(-x)>1==>f(-x)<1
在R上任取x1,x2，x1>x2
令x+y=x1,x=x2,
则y=x1-x2
f(x1)=f(x2)+f(x1-x2)-1
f(x2)=f(x1)-f(x1-x2)+1
f(x1)-f(x2)=-[f(x1)-f(x2)]+2f(x1-x2)-2==>f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-1
∵x1>x2,
∴x1-x2>0，f(x1-x2)>1
∴f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
∴f(x)在R上为增函数

(2)解析：∵f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5==>f(2)=3
∴f(3-2m)<3=f(2)
3-2m<2==>2m>1==>m>1/2