Question

如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D的直线交AB于E，交AC的延长线于F，且BE=CF，求证：

如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D的直线交AB于E，交AC的延长线于F，且BE=CF，求证：AE=AF.

Answer 1

过D点作平行线段DG//CF 且DG=CF
连接BG
∵DG//CF
∴∠CFD=∠GDF（内错角） ∠BCF=∠BDG （同位角）①
∵DC=BD DG=CF ∠BCF=∠BDG
∴△DCF≌△BDG
∴∠CDF=∠CBG
∴DF//BG ∴EF//BG ∵DG=CF CF=EB∴EB=DG
∴四边形EDGB是等腰梯形
∴∠DGB=∠EBG
∵∠AEF=∠EBG ∴∠DGB=∠AEF
∵EF//BG
∴∠FDG=∠DGB （内错角）
∵∠FDG=∠CFD
∴∠AEF=∠CFD 即∠AEF=∠AFE
∴△AEF为等腰三角形
∴AE=AF

追问

为什么DG=CF？能别从百度上复制粘贴上来么？

追答

我笑!都是老子自己做的!
做BM∥AF交AE的延长线于M
∴∠M=∠F
∵D是BC的中点
∴CD=BD
在△CDF和△BDM中
CD=BD，∠F=∠M，∠CDF=∠BDM
∴△CDF≌△BDM
∴CF=BM=BE
∴∠M=∠BEM=∠AEF=∠F
即∠F=∠AEF
∴AE=AF

Answer 2

过C作CG∥AB交DE于G，
则∠DCG=∠B，∠DGC=∠GEB，∠FGC=∠FEA，
∵DB=DC，∴ΔDCG≌ΔDBE，
∴CG=BE，
∵CF=BE，∴CG=CF，
∴∠F=∠FGC，
∴∠F=∠FEA，
∴AE=AF。