Question

怎样用定义证明1/x在（0，＋∞）上连续

Answer 1

　　证明 设 x0∈(0, +inf.)，对任意 x∈(0, +inf.)：|x-x0|<1，有 |x| <= |x0|+|x-x0| < |x0|+1。对任意 ε>0，要使
　　　　|1/x - 1/x0| = |x-x0|/|xx0| < |x-x0|/[|x0|(|x0|+1)] < ε，
只需 |x-x0| < ε*[|x0|(|x0|+1)] 且 |x-x0| < 1，取 η = min{ε*[|x0|(|x0|+1)], 1}，则当 |x-x0| < η 时，
　　　　|1/x - 1/x0| < |x-x0|/[|x0|(|x0|+1)] < η/[|x0|(|x0|+1)] <= ε，
根据定义得知函数在 x0 连续，又由 x0∈(0, +inf.) 的任意性，得知函数在 (0, +inf.) 上连续。

Answer 2

设x1,x2
|x1sin1/x1-x2sin1/x2|
中值定理
=|ξ+ξcosξ||x1-x2|
又0<ξ<1
所以原式<2
即|x1sin1/x1-x2sin1/x2|<2|x1-x2|
给定ε>0，当δ=ε/2时
0<|x1-x2|<δ就能保证
|x1sin1/x1-x2sin1/x2|<2|x1-x2|<ε

故由定义，函数一致连续

追问

表示看不懂-_-#
不过辛苦你了，谢谢