Question

复合函数二阶偏导数问题

谁能详细的给我解释一下第二问的第一步是怎么得出来的，把详细的步骤写出来 谢谢

Answer 1

u(x,y)=(∂z/∂x-∂z/∂y)/(x-y) (1)
z=x²+y²- φ(x+y+z) (2) 求：∂u/∂x=?
解： ∂z/∂x=2x-φ'(1+∂z/∂x) (3)
∂z/∂y=2y-φ'(1+∂z/∂y) (4)
由(3)、(4)分别解出：
∂z/∂x=(2x-φ')/(1+φ') (5)
∂z/∂y=(2y-φ')/(1+φ') (6)
将(5)、(6)代入(1)式，得到：
u(x,y)=(∂z/∂x-∂z/∂y)/(x-y)
=2/(1+φ')
即：u(x,y) = 2/(1+φ') (7) 这就是第二问题的第一步。
而 ∂u/∂x=-2φ''(1+∂z/∂x)/(1+φ')² 将（5）式代入，最后得到：
∂u/∂x = -2φ''(1+2x)/(1+φ')³ (8) 这是第二问题的最后一步！

追问

我就是想问对 2/(1+φ')求偏导数如何得出来-2φ''(1+∂z/∂x)/(1+φ')²的

追答

即：u(x,y) = 2/(1+φ') (7) 这就是第二问题的第一步。
有了（7），u(x，y)对x求导:
∂u/∂x= ∂[2/(1+φ')]/∂x
=-2φ''(1+∂z/∂x)/(1+φ')² 将（5）式代入，最后得到：
∂u/∂x= ∂u/∂x = -2φ''(1+2x)/(1+φ')³ (8)

追问

其他的我都明白，就是不知道∂[2/(1+φ')]/∂x怎么求到=-2φ''(1+∂z/∂x)/(1+φ')²的

追答

对分式型函数：A(X)/B(X)的求导的方法：公式为[A(X)/B(X)]'x=[A'(X)B(X)-A(X)B'(X)]/B^2(X)
∂[2/(1+φ')]/∂x=2∂[1/(1+φ')]/∂x (!!!)
A=1 B=(1+φ')
A'=0 B'=φ'' (X+Y+Z)'=φ'' (1+0+∂z/∂x)=φ'' (1+∂z/∂x)=
代入(!!!)，得到：∂[2/(1+φ')]/∂x=2(A'B-AB')/B^2=2(0-B')/B^2=-2φ'' (1+∂z/∂x)/(1+φ')²
再将（5）式代入得到最后结果！