Question

直角梯形ABCD中，角A=角B=90度，CD=AD+BC，求证： (1)以AB为直径的圆与CD相切

直角梯形ABCD中，角A=角B=90度，CD=AD+BC，求证： (1)以AB为直径的圆与CD相切。 (2)以CD为直径的圆与AB相切

Answer 1

1)

在CD上取一点E，使BC = CE。以E为垂足做EM交AB与M，并连接CM & DM。

因为BC = CE， CD = BC + AD，因此DE = AD

因为∠MBC = ∠MEC = 90度，BC = CE，共用CM，因此△CMB ≅ △CME （HL) => BM = EM

因为∠MAD = ∠MED = 90度，DE = AD，共用DM，因此△AMD ≅ △EMD （HL) => AM = EM

因为，AM = EM = BM，且EM⊥CD，因此以AB为直径，中点M为圆心做圆，切CD于E

2)

取CD中点N，做AB垂线NF交AB于F。

因为AB⊥FN，∠A = ∠B = 90度，因此BC ∥ FN ∥ AD => F为AB中点

因为N为CD中点，BC ∥ FN ∥ AD，因此F为AB中点 => FN = (BC + AD) / 2

因为 FN = (BC + AD) / 2，CD = BC + AD，因此 FN = CD/2 = CN = ND

因为，FN = CN = ND，且AB⊥FN，因此以CD为直径，中点N为圆心做圆，切AB于F