Question

如图，已知：AB是⊙O的直径，点C和动点P位于直径AB的两侧，点P在半圆弧AB上 运动，直线PQ经

如图，已知：AB是⊙O的直径，点C和动点P位于直径AB的两侧，点P在半圆弧AB上
运动，直线PQ经过B点，AB=10．
（1）如图1，当CP经过圆心O时，求证：△PCB≌△ABC； （2）如图2，当点P在AB ⌒ 的中点时，求弦PB的长；
（3）如图3，当PQ⊥AB时（此时P点与B点重合），过C点作PQ的垂线CD，垂足为D点，线段CD交⊙O于E点.若CD+BD=12，求弦CE的长.(根据题意画出图，标出相应的字母)

Answer 1

考点： 圆周角定理；全等三角形的性质；垂径定理；相似三角形的判定。
专题： 几何综合题。
分析： （1）由AB是⊙O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC；
（2）由△PCD∽△ABC，可知当PC=AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；
（3）由∠ACB=90°，AC=AB，可求得∠ABC的度数，然后利用相似，即可得∠PCD的度数，又由垂径定理，求得 = ，然后利用圆周角定理求得∠ACP的度数，继而求得答案．
解答： （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵PD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠ACB，
∵∠A与∠P是 对的圆周角，
∴∠A=∠P，
∴△PCD∽△ABC；
（2）解：当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC，
理由：∵AB，PC是⊙O的半径，
∴AB=PC，
∵△PCD∽△ABC，
∴△PCD≌△ABC；
（3）解：∵∠ACB=90°，AC=AB，
∴∠ABC=30°，
∵△PCD∽△ABC，
∴∠PCD=∠ABC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴=，，
∴∠ACP=∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°．

追答

追问

答不对题