Question

证明下述函数项级数在[0,+oo)一致收敛

x=0,x>=1的时候没问题，解析一下0<x<1的时候怎么证明，或者不分段直接证明

Answer 1

可以不用分段.
直接求导证明函数x²e^(-nx)在[0,+∞)上的最大值为4/(n²e²).
即成立不等式0 ≤ x²e^(-nx) ≤ 4/(n²e²).
而数项级数∑{1 ≤ n} 4/(n²e²) = 4/e²·∑{1 ≤ n} 1/n²收敛,
由Weierstrass判别法即知∑{1 ≤ n} x²e^(-nx)在[0,+∞)上一致收敛.

Answer 2